Zbiory Teoria i Zadania

Zbiory

Czym jest zbiór?

Działania na zbiorach

Przedziały

\begin{examplebox}
Często na początku nauki zbiorów ciężko jest nam zrozumieć różnice pomiędzy zbiorami z nawiasami klamrowymi, otwartymi i domkniętymi. Zrozumienie tego to jest podstawa do dalszej nauki matematyki, dlatego postaram się to wyjaśnić na przykładach. Weźmy cztery zbiory:
$A=\{1,2,3\}$
$B=(1,3)$
$C=[1,3]$
$D=[1,3)$
Na pierwszy rzut oka wyglądają podobnie. Czym więc się różnią?

Zbiór $A$ to zbiór trzyelementowy. Jego elementami są tylko liczby 1, 2 i 3. Wypisujemy je w nawiasie klamrowym i po przecinku.

Zbiór $B$ to zbiór o nieskończonej liczbie elementów, ponieważ znajdują się tam wszystkie liczby rzeczywiste większe od 1 i mniejsze od 3 (w tym wszystkie ułamki, liczby niewymierne). Co ważne - do tego zbioru nie należą liczby 1 i 3, one tylko wyznaczają nam końce tego przedziału. Jedyną liczbą całkowitą w tym przedziale jest liczba 2. Możemy znaleźć liczby dowolnie bliskie liczbie 3, na przykład
2,9, 2,99, 2,999, jednak żadna z nich nie jest największa (zawsze uda nam się znaleźć większą). Tak naprawdę nie umiemy nazwać największej liczby w tym przedziale - ona nie istnieje. Idąc tym samym tokiem rozumowania, liczba najmniejsza w tym przedziale również nie istnieje.

Zbiór $C$ jest bardzo podobny do zbioru $B$. Jedyna różnica polega na tym, że liczby 1 i 3 należą do tego przedziału i są odpowiednio najmniejszą i największą liczbą w tym przedziale.

Zbiór $D$ jest lewostronnie domknięty i prawostronnie otwarty. Oznacza to, że liczba 1 należy do zbioru i jest w nim najmniejsza, ale liczba 3 już nie należy do tego zbioru. Taki przedział na osi liczbowej oznaczamy z jednej strony zamalowanym kółkiem, a z drugiej otwartym.