Materiały Korepetycje Cennik FAQ Kontakt Zaloguj

Materiały
Korepetycje
Cennik
FAQ
Kontakt
Zaloguj

Materiały Szkoła średniaLiczby rzeczywisteZbiory i przedziały

Zbiory - teoria

Spis treści

Czym jest zbiór?
Działania na zbiorach

Spis treści

Czym jest zbiór?
Działania na zbiorach

Zbiory

Czym jest zbiór?

Definicja

Zbiór to najprościej mówiąc grupa różnych elementów.
Zapis $x \in A$ oznacza, że element $x$ należy do zbioru $A$ . Zapis $x \notin B$ oznacza, że element $x$ nie należy do zbioru $B$ .

Ważne

Zbiory mogą mieć skończoną liczbę elementów, wtedy zazwyczaj elementy wypisujemy w nawiasach klamrowych oddzielone przecinkiem. Zbiory mogą mieć też nieskończenie wiele elementów, np. przedziały liczb. Szczególnym przypadkiem zbioru o nieskończonej liczbie elementów jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ .

Zbiory w matematyce zazwyczaj oznaczamy wielkimi literami, natomiast elementy zbiorów - małymi.

Przykład

Przykłady zbiorów w matematyce:

zbiór liczb parzystych,
zbiór liczb naturalnych,
$A=\{-5,-3,3,5\}$ ,
$B=[-5;5)$ .

Definicja

Zbiór pusty to zbiór, do którego nie należy żaden element, oznaczamy go symbolem $\emptyset$ .

Ważne

Zbiór można określić podając jego wszystkie elementy, np. $A=\{1,2,3,4,5\}$ , albo podając warunek, który muszą spełniać jego elementy. np. $B$ - zbiór wszystkich liczb podzielnych przez 3 mniejszych od 15.

Działania na zbiorach

Definicja

Sumą zbiorów $A$ i $B$ ( $A\cup B$ ) nazywamy zbiór elementów, które należą do co najmniej jednego ze zbiorów $A$ i $B$ .

Rysunek 1. Suma zbiorów.

Ważne

Kolejność elementów w zbiorze nie ma znaczenia.

$\{1,2,3\}=\{3,2,1\}$

Ważne

W sytuacji, gdy jakiś element pojawia się w obu zbiorach $A$ i $B$ , to nie zapisujemy go dwa razy w sumie tych zbiorów $A\cup B$ .

Przykład

Dane są zbiory:

$A=\{1,5,10\}$

$B=\{2,5,8,12\}$

Suma tych zbiorów to:

$A\cup B=\{1,2,5,8,10,12\}$

Definicja

Iloczynem zbiorów $A$ i $B$ ( $A\cap B$ ) nazywamy zbiór elementów, które należą jednocześnie do obu tych zbiorów. Inaczej mówiąc, jest to część wspólna zbiorów.

Rysunek 2. Iloczyn zbiorów.

Przykład

Dane są zbiory:

$A=\{1,5,10\}$

$B=\{2,5,8,12\}$

Iloczyn tych zbiorów to:

$A\cap B=\{5\}$

Definicja

Różnicą zbiorów $A$ i $B$ ( $A\backslash B$ ) nazywamy wszystkie elementy zbioru $A$ , których nie ma w zbiorze $B$ .

Rysunek 3. Różnica zbiorów $A\backslash B$ .

Rysunek 4. Różnica zbiorów $B\backslash A$ .

Ważne

Różnicę zbiorów $A\backslash B$ można rozumieć też tak, że ze zbioru $A$ "wywalamy" jego część wspólną ze zbiorem $B$ , czyli $A\cap B$ . Jest to szczególnie przydatne, gdy zbiory mają dużo elementów, lub gdy we wcześniejszej części zadania wyznaczyliśmy już iloczyn $A\cap B$ .

Przykład

Dane są zbiory:

$A=\{1,5,10\}$

$B=\{2,5,8,12\}$

Różnica zbiorów to:

$A\backslash B=\{1,10\}$

$B\backslash A=\{2,8,12\}$

Nauka Z Pazurem

Platforma matematyczna z materiałami, wzorami i wykresami - od podstaw do matury.

Materiały Korepetycje Cennik FAQ Piaskownica Kontakt Polityka prywatności